僕の家にはいないのですが、実家でペットの犬と猫を飼っているので小さい子供に対してどのような影響があるのか調べました。
もし今ペットを飼っていてこれから子供が生まれるから気になるって場合は見て欲しいです。
メリット
洞察力が上がる

ペットは言葉で話すことができないので言葉じゃないコミュニケーション能力が上がります。
つまり言葉にしなくても相手のことがわかり思いやりを持てたり共感しやすくなります。
この能力が高くなると言葉での嘘に騙されにくくなります。
今の時代とても大切なことです。
命の大切さについて知る

小さい頃から一緒に成長することで命の大切さを学ぶことができます。
ペットは人間よりも早く死んでしまうので生命の尊さ、大切さなども学ぶことができます。
命の大切さは実感がないと理解するのが難しいことです。
言葉とかだととても難しいですがペットと小さい頃から一緒に暮らすことで子供にそれを感じ取ってもらえます。
精神的な支えになる

精神的な支えになるのって親だったり友達だったりすると思うんですが、ペットも支えになってくれます。
決して裏切ることはないので本当に辛くて誰にも言えないような事を話すのにはペットがいいです。
僕も学生時代辛いことがあった時など家に帰って座ると足の上に乗ってくる愛犬の姿にめちゃくちゃ癒されました。
どれだけ助けられたかわかりません。
免疫力が上がる

動物の糞の中にエンドトキシンという物質があり、免疫システムを成熟させる効果があるようです。
もちろん過剰摂取はダメなので清潔にしておく必要はあります。
ただ赤ちゃんが生まれたからといって過剰に対応する必要がないことが上のことからわかります。
デメリット
旅行に行けない

長期の旅行に行くのは難しくなります。
ただペット可のホテルだったりペットホテルなどを利用すれば旅行に行けなくはないですがお金がかかります。
旅行が趣味の場合はあまり向いてないですね。
お金がかかる

ペットのご飯代、予防接種、カット・シャンプー代などお金がかかってきます。
一番大きいのは病気になった時の病院代なので元気なうちに保険に入っておく事をオススメします。
掃除が大変

どうしてもペットがいない家よりは汚れが出やすいので掃除はこまめにする必要があります。
トイレとかも覚えるまではそこらへんでしちゃうこともあるので掃除は普通の家より大変になります。
子供が寝てるのを起こす

知らない人が家に訪ねてきたりすると吠えてしまうことがあるのでその時お昼寝をしてた子供が起きるってのはよくあります。
犬としては人が来た事を教えてくれてるので悪いことはしてないのですが・・・・
まぁしょうがないって諦めてます。
しつけをしっかりできてればそんなことにはならないんでしょうけどね。
まとめ
ペットを子供と一緒に育てて行くことでデメリットもありますが、結構メリットの方が大きかったように僕は感じました。
このメリットを最大限に生かせればかなりすごいですよね。
今までよりもう少し多めに実家に帰って子供たちを実家の犬とねこに触れさせます。
そして心豊かに育ってくれる事を願います。